Zadanie 1
Udowodnić, że linia współosiowa o stosunku promieni zewnętrznego do wewnętrznego równym \sqrt{e} = 1.648721271 może przenosić energię o największej mocy. Obliczyć parametry jednostkowe L_1 , C_1 i impedancję charakterystyczną Z_0 tej linii przy założeniu, że jest ona wypełniona bezstratnym dielektrykiem o \epsilon_r = 2.03, i \mu_r = 1.
Rozwiązanie
Linia współosiowa - przekrój poprzeczny
Linia współosiowa - przekrój poprzeczny
Należy znaleźć taką wartość stosunku promieni przewodów zewnętrznego do wewnętrznego \frac{a}<b>, żeby dla ustalonej wartości maksymalnej pola elektrycznego E przenoszona moc była największa.
Moc przesyłaną można wyrazić za pomocą wzoru:
P = \frac{U_0 \cdot I_0}{2}
W pobliżu wewnętrznego przewodu napięcie i prąd wyraża się wzorem:
U_0 = E_{max} \cdot b ln(\frac{a}{b})
I_0 = 2 \cdot \Pi \cdot b \frac{E_{max}}{\xi}
Zatem przesyłana moc wynosi:
P = E_{max}^2 \cdot \frac{\Pi}{\xi} \cdot b^2 \cdot ln(\frac{a}{b})
Obliczam pochodną \frac{dP}{d(\frac{a}{b})} i przyrównuję do 0:
\frac{dP}{d(\frac{a}{b})} = E_{max}^2 \cdot \frac{\Pi}{\xi} \cdot a^2 \cdot (-2 \cdot (\frac{a}{b})^{-3} \cdot ln(\frac{a}{b}) + (\frac{a}{b})^{-3}) = E_{max}^2 \cdot \frac{\Pi}{\xi} \cdot a^2 \cdot 2 \cdot (\frac{a}{b})^{-3} \cdot (\frac{1}{2} - ln(\frac{a}{b}))
(\frac{1}{2} - ln(\frac{a}{b})) = 0
\frac{a}{b} = \sqrt{e}
Obliczam impedancję charakterystyczną Z_0
Z_0 = \frac{\xi}{2 \cdot \Pi} \cdot ln(\frac{a}{b}) = 60 \cdot \sqrt{\frac{\mu_r}{\epsilon_r}} \cdot ln(\frac{a}{b}) = 21.055870 \Omega
Obliczam parametr jednostkowy L_1
\mu = \mu_0 \cdot \mu_4 = 4 \cdot \Pi \cdot 10^{-7} \frac{H}{m}
L_1 = \frac{\mu}{2 \cdot \Pi} \cdot ln(\frac{a}{b}) = \frac{1}{2 \cdot \Pi} \cdot ln(\sqrt{e}) = 10 \mu H
Obliczam parametr jednostkowy C_1
\epsilon = \epsilon_0 \cdot \epsilon_r = \frac{1}{\mu_0 \cdot c_0^2} \cdot \epsilon_r
\epsilon_0 = 8.854188 \cdot 10^{-12} \frac{F}{m}
C_1 = \frac{2 \cdot \Pi \cdot \epsilon}{ln(\frac{a}{b})} = \frac{2 \cdot \Pi \cdot 2.03}{\sqrt{e}} = 225.867920 pF
  1 /** date: 03-05-2006
  2 title: ASUM zadanie 1
  3 author: Michal Mackowiak
  4 usage: asum_01.exe [a/b] [mr] [er]
  5 */
  6
  7 #include <stdio.h>
  8 #include <stdlib.h>
  9 #include <math.h>
 10
 11 #define PI 3.141592
 12
 13 float calculateZ0(float, float, float);
 14
 15 int main(int argc, char *argv[]){
 16      float a_b;
 17      float m, mr;
 18      float e, e0, er;
 19      float c1, l1;
 20
 21      if(argc!=4){
 22       printf("\nusage: asum_01.exe [a/b] [mr] [er]");
 23       return -1;
 24       }
 25
 26      a_b=atof(argv[1]);
 27      mr=atof(argv[2]);
 28      er=atof(argv[3]);
 29
 30      printf("\na_b=%.6f m_r=%.6f e_r=%.6f", a_b, mr, er);
 31      printf("\nZ0=%.6f", calculateZ0(a_b, mr, er));
 32
 33      m=4*PI; //*pow(10,-7);
  3      l1=m/(2*PI)*log(a_b);
  4
  5      e0=8.854188; //*pow(10,-12);
  3      e=e0*er;
  4
  5      c1=2*PI*e/log(a_b);
  6
  7      printf("\nL1=%.6f * 10^-7 C1=%.6f * 10^-12", l1, c1);
  8
  9      return 0;
 10      }
 11
 12 float calculateZ0(float a_b, float mr, float er){
 13      return 60*sqrt(mr/er)*log(a_b);
 14      }
  1
  2 a_b=1.648721 m_r=1.000000 e_r=2.030000
  3 Z0=21.055870
  4 L1=1.000000 * 10^-7 C1=225.867920 * 10^-12


Twój komentarz:
podpis:
e-mail:
komentarz:


Komentarze: